Задание №66524 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть  — высота пирамиды. Пусть  Восстановим из точки  перпендикуляр к плоскости  то есть проведем  Тогда . Таким образом, из одной точки  проведены две плоскости  и  перпендикулярные плоскости . Следовательно, эти плоскости совпадают, то есть совпадают точки  и . Таким образом,  то есть 

Так как по свойству правильного шестиугольника  то по теореме Фалеса  — середина  Следовательно,  — медиана и высота  следовательно, он равнобедренный, то есть  Чтд.

б)  — высота пирамиды   — ее основание. Так как  — средняя линия  то   

 как прямоугольные с общим углом  следовательно,

Трапеция  отрезками  и  разбивается на 3 правильных треугольника со стороной равной  следовательно,

  следовательно,

 следовательно,

Следовательно,

Тогда