Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №17
  • Задание №17

    • Задание №66628 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #66628

    №17 по КИМ

    В прямоугольный треугольник ABC  с прямым углом A  вписана окружность с центром в точке O  и радиусом R.  К этой окружности параллельно прямой AB  проведена касательная, которая пересекает стороны BC  и AC  в точках D  и E  соответственно. В треугольник CDE  вписана окружность с центром в точке O1  и радиусом r.  Прямые OO1  и AB  пересекаются в точке P.

    а) Докажите, что AP :PB = cos∠ACB.

    б) Найдите площадь треугольника ABC,  если R = 6,  r = 4.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

    а) Пусть α= ∠ACB.  Так как CP  — биссектриса угла ACB,  то по свойству биссектрисы

    AP- AC- PB = BC = cosα.

    Что и требовалось доказать.

    PIC

    б) Проведем радиусы OK  и O1K1  в точки касания окружностей со стороной AC.  Большая окружность вписана в прямоугольную трапецию ABDE,  следовательно, ее радиус R  равен KE.  Меньшая окружность вписана в прямоугольный △CDE,  следовательно, ее радиус r  равен K1E.

    △OKC ∼ △O1K1C  как прямоугольные с общим острым углом. Следовательно, если CK =x, 1  то

    R- R-+-r+-x 6 6+-4+-x- r = x ⇔ 4 = x ⇔ x= 20

    Следовательно,

    α- r 1 -2tg α2-- 5- tg2 = x = 5 ⇒ tgα = 1− tg2 α2 = 12

    С другой стороны,

    tgα= AB- AC

    При этом AC = 2R + r+ x= 36.  Следовательно,

    5-= AB- ⇔ AB = 15 12 36

    Тогда искомая площадь равна

    1 1 S△ABC = 2 ⋅AB ⋅AC = 2 ⋅15 ⋅36 = 270
     
    Ответ: б) 270
    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №57558Задание №53478Задание №57957Задание №53693Задание №58400Задание №53986Задание №54346Задание №30364Задание №53987Задание №57063Задание №57064Задание №57065Задание №57066Задание №11416Задание №30732
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта