Задание №66631 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть   — трапеция, описанная около данной окружности. Пусть   Тогда суммы противоположных сторон трапеции равны, следовательно,

То, что окружность пересекает  в двух точках, равносильно тому, что   Если окружность не пересекает сторону  или касается ее, то имеем:

Получили противоречие. Следовательно, окружность пересекает сторону  в двух точках. Что и требовалось доказать.

б) Пусть окружность пересекает  в точках  и  считая от точки  Пусть  Тогда  Так как трапеция равнобедренная, то точка  касания окружности с основанием  делит его пополам. Следовательно,  Так как отрезки касательных равны, то для точки  касания окружности со стороной  имеем:

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то