Задание №66636 ЕГЭ Профильной математике

а) Если четырехугольник описанный, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) Пусть  — центр окружности, вписанной в  Тогда    и  — радиусы этой окружности. Так как  то точки  лежат на одной прямой, следовательно,  — высота трапеции  равная 

В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям, следовательно,  и  Так как  — описанный, то суммы противоположных сторон равны, значит, если   то

Следовательно,  и тогда

Так как  — вписанная трапеция, то ее площадь можно найти по формуле ( — полупериметр)

Так как  то

Из  находим, что  следовательно,

Следовательно,  В силу симметрии решаемой системы

относительно перемены местами  и  если принять, что  получаем  

Пусть  Тогда по свойству равнобедренной трапеции  Следовательно,  Тогда по теореме Пифагора  Если  то  следовательно, по теореме синусов

Так как окружность, описанная около  это та же окружность, что описана около  то мы нашли ее радиус и он равен