Задание №66637 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть  Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) Высота трапеции равна диаметру окружности, вписанной в эту трапецию. Проведем  Тогда имеем:

Так как при этом  то  — параллелограмм и  Тогда 

Пусть полупериметр трапеции  равен  Тогда по формуле Брахмагупты квадрат площади этой трапеции равен

С другой стороны, площадь этой трапеции равна

Отсюда получаем уравнение

Из пункта а) следует, что

Подставим это в уравнение выше и получим

Обозначим  и проведем  Тогда окружность, описанная около  есть окружность, описанная около  По теореме синусов для этого треугольника

Найдем  В прямоугольном треугольнике  имеем:

Также имеем:

Тогда по теореме Пифагора из 

Тогда искомый радиус равен