Задание №66638 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть окружность с центром в точке  пересекает  в точке   в точке  Так как эта окружность касается  то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен  следовательно,  — радиус этой окружности. Также  Следовательно,  равнобедренный и прямоугольный, значит, 

Докажем, что  лежит на  Для точки  доказательство будет аналогично.

Пусть  — биссектриса   Докажем, что  Рассмотрим  и  Они равны по двум сторонам и углу между ними (   — общая). Следовательно,  Следовательно, так как  то  следовательно,  — биссектриса второго угла  треугольника  Значит,  — точка пересечения биссектрис треугольника  значит, это центр вписанной в этот треугольник окружности, следовательно, 

Чтд.

б) Расстояние от точки  до прямой  равно высоте  равнобедренного прямоугольного  проведенной к гипотенузе  А эта высота в свою очередь равна 

Так как  то