Задание №66639 ЕГЭ Профильной математике

а) Так как   и  — вписанные, то суммы противоположных углов для каждого четырехугольника равны  Тогда  и  откуда  Эти углы являются соответственными при  и  и секущей  Следовательно, 

Также  и  следовательно,  Эти углы также являются соответственными при  и  и секущей  следовательно,  Тогда  Следовательно,  — либо трапеция, либо прямоугольник. Но так как косинус одного из углов  ненулевой (что не выполнено для углов ), то  — трапеция.

Также  так как эти углы смежные. Отсюда и из вышезаписанного равенства  следует, что  Но  следовательно,  следовательно, трапеция равнобедренная. Чтд.

б) Пусть   Проведем  Тогда

По свойству равнобедренной трапеции 

Проведем  Пусть  Тогда  — параллелограмм, следовательно,  Тогда 

 (  — общий), следовательно,

Следовательно, 

Проведем  Тогда окружность, описанная около  есть окружность, описанная около  Следовательно, по теореме синусов

По теореме косинусов для 

Тогда

Проведем  Тогда по теореме косинусов для 

Если  — радиус окружности, описанной около  то, так как эта же окружность является описанной около  имеем по теореме синусов следующее: