Задание №66641 ЕГЭ Профильной математике

а) Так как  и  — вписанный четырехугольник, то  — равнобедренная трапеция. Следовательно, 

Углы  как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, так как  то  — равнобедренный. Отсюда следует, что  — середина  значит,  также равнобедренный, то есть 

Тогда  следовательно,  Так как эти углы являются соответственными при прямых  и  и секущей  то  Тогда  — ромб, следовательно,  — середина диагонали  Что и требовалось доказать.

б) Так как  и  делит  пополам, то  — диаметр. Следовательно,  Так как угол  опирается на дугу в два раза большую, чем дуга, на которую опирается угол  то  и далее имеем:

По теореме косинусов из 

Заметим, что  по двум углам, следовательно,

Тогда окончательно имеем: