Задание №66644 ЕГЭ Профильной математике

а) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Так как  то

Следовательно, 

Аналогично доказывается, что  Чтд.

б) Пусть  — точки касания окружности со сторонами    и  соответственно. Так как трапеция равнобедренная, то  следовательно,  следовательно,  равнобедренный и  также является и медианой. Тогда  — середина  Аналогично доказывается, что  — середина 

Пусть   Тогда   как отрезки касательных. Следовательно,  значит, 

Также заметим, что  лежат на одной прямой, то есть  — высота трапеции и одна из диагоналей четырехугольника 

Так как  а  то  Тогда

Найдем  Проведем  Тогда  — параллелограмм, а также  — параллелограмм, где  Следовательно, 

 следовательно,

Следовательно,

Площадь трапеции  равна

Тогда получаем следующее равенство:

 

Отсюда  или  Так как  то