Задание №66645 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть  — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников  и 

Четырехугольник  вписан в окружность, поэтому

Аналогично четырехугольник  вписан в окружность, следовательно,

Следовательно,

Следовательно, четырехугольник  также вписан в окружность, то есть точка  лежит на окружности, описанной около треугольника  Чтд.

б) Докажем, что   и  — диаметры трех окружностей. Пусть  — центр окружности, описанной около  Докажем, что 

Так как  — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам  то  Отсюда  — вписанный, следовательно,  лежит на окружности, описанной около  Аналогично доказывается, что  лежит на двух других окружностях, следовательно,  — точка пересечения всех трех окружностей, то есть это и есть точка  Из того, что  следует, что  и  — диаметры трех окружностей.

Следовательно, если   и  — центры этих окружностей, то эти точки — середины отрезков   и  соответственно, значит,   и  — средние линии в   и  соответственно. Следовательно, стороны  равны половинам сторон  значит, эти треугольники подобны с коэффициентом подобия  Тогда радиус окружности, впписанной в  в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в  По формуле  радиус окружности, вписанной в  равен