Задание №66649 ЕГЭ Профильной математике

а) Если два угла, образованных диагональю и стороной четырехугольника и опирающихся на одну и ту же сторону четырехугольника, равны, то такой четырехугольник является вписанным. Будем пользоваться этим признаком вписанности для доказательства вписанности 

Рассмотрим  и  Обозначим  Заметим, что  так как в противном случае  а эти углы являются накрест лежащими при секущей 

Тогда, так как  и  подобны, существует два варианта:  или  В первом случае доказывать больше нечего, четырехугольник  является вписанным. Рассмотрим второй случай. Тогда  Так как  как вертикальные, то  следовательно,  равнобедренный. Тогда и  равнобедренный. Следовательно,  Тогда четырехугольник  является вписанным. Чтд.

б) Обозначим  

1.

Если  то  при секущей  что невозможно.

2.

Пусть  Если  то  при секущей  что невозможно.

Пусть  Рассмотрим рисунок:

 

Тогда все углы при вершине  опирающиесся на какую-либо сторону четырехугольника, прямые.  и  — биссектрисы и высоты в  и  соответственно. Следовательно, эти треугольники равнобедренные. Тогда  Заметим также, что  следовательно,  Следовательно,  — высота, опущенная из вершины прямого угла к гипотенузе. Но  что невозможно.*

*Высота, опущенная к гипотенузе, ищется по формуле

где  — катеты,  — гипотенуза.

3.

Пусть  Если  то  при секущей  что невозможно. Если  то, рассуждая аналогично предыдущему пункту, мы получаем следующую картинку:

 

Здесь противоречий нет. Значит это единственно возможный вариант.

Итак,    Без ограничения общности пусть  Из подобия  и  получаем

Так как  то  Тогда по теореме Пифагора  

Следовательно. полупериметр четырехугольника  равен  Площадь же его равна полупроизведению диагоналей, то есть

Тогда радиус вписанной окружности равен