Задание №66650 ЕГЭ Профильной математике

а) Так как противоположные стороны не параллельны, то  Тогда из подобных по условию треугольников имеем:

Пусть  Тогда   что не противоречит условию на подобие треугольников (два равных треугольника — подобные треугольники с коэффициентом подобия, равным 1). Следовательно,  — дельтоид (четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и одна из них делит вторую пополам).

Пусть  — биссектриса  Тогда биссектрисы углов   и  дельтоида пересекаются в точке  Докажем, что  — биссектриса  Так как  по трем сторонам, то по свойству биссектрисы

Следовательно, по признаку  — биссектриса. Таким образом,  — точка пересечения биссектрис всех углов четырехугольника  следовательно,  — центр вписанной в него окружности.

б) Итак,  — дельтоид. Из пункта а) следует, что  — вписанный (), причем два противоположных угла из четырех равны по  Следовательно, их сумма равна  значит, одна из диагоналей  или  является диаметром описанной окружности. Докажем, что это б´ольшая диагональ. Отсюда будет понятно, какие из двух углов дельтоида прямые.

Предположим, что меньшая диагональ  — диаметр описанной окружности. Тогда  — середина  и центр описанной окружности. Если  делит  пополам, то  следовательно,  Но  так как в этом случае  — ромб, что противоречит условию на непараллельность противоположных сторон. Если  делит  пополам, то имеем:  Также противоречие.

Таким образом,  — диаметр описанной окружности, следовательно,  Также попутно мы доказали, что именно б´ольшая диагональ делит меньшую пополам, то есть  — середина 

Тогда имеем    

Пусть   Тогда получаем систему

Без ограничения общности  

Воспользуемся формулами  и  для площади дельтоида  Тогда