Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №17
  • Задание №17

    • Задание №66652 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #66652

    №17 по КИМ

    В прямоугольнике ABCD  диагонали пересекаются в точке O,  а угол BDC  равен  ∘ 22,5.  Точка P  лежит вне прямоугольника, а угол BP C  равен  ∘ 135 .

    а) Докажите, что углы BCP  и POB  равны.

    б) Прямая PO  пересекает сторону AD  в точке F.  Найдите DF,  если BP =7  и CP = 5√2.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

    а) ∠CBO = 90∘− 22,5∘ = 67,5∘.  Тогда ∠BOC = 180∘ − 2 ⋅67,5∘ = 45∘.  Следовательно,  ∘ ∠BOC + ∠BP C = 180  и четырехугольник BP CO  вписанный. Тогда вписанные углы, опирающиеся на сторону BP,  равны: ∠BCP = ∠P OB.  Что и требовалось доказать.

    PIC

    б) Обозначим ∠PBC = α,  ∠CBO =φ,  ∠PCB = β,  FD = x,  BC = a.

    Заметим, что △OF D =△BKO,  следовательно, BK = x.

    Заметим, что ∠BP O = ∠BCO = φ.

    По теореме синусов для △BP C :

    √- --a--∘ = 5-2-= -7-- (1) sin135 sinα sinβ

    PIC

    По теореме косинусов из △BP C :

    √ - √- a2 = 72+ (5 2)2 − 2 ⋅7⋅5 2⋅cos135∘ a= 13

    По теореме синусов из △BP K :

    --x- = PK-- ⇔ PK = sin-α⋅x sin φ sinα sin φ

    По теореме синусов из △BOK :

    -x--= KO-- ⇔ KO = sin-φ⋅x sin β sinφ sin β

    Для пересекающихся хорд BC  и P O  имеем:

    BK ⋅KC =P K ⋅KO sinα- sin-φ sinα- 2 x(13− x)= sinφ ⋅x⋅sin β ⋅x = sinβ ⋅x (2)

    Из (1) следует, что

    √- sinα = 5-2- sinβ 7

    Подставим это в (2) и получим

    2 5√2 2 √- 13x− x = -7--⋅x ⇔ x= 91(5 2− 7)
     
    Ответ: б) 91(5√2− 7)
    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №57558Задание №53478Задание №57957Задание №53693Задание №58400Задание №53986Задание №54346Задание №30364Задание №53987Задание №57063Задание №57064Задание №57065Задание №57066Задание №11416Задание №30732
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта