Задание №71533 ЕГЭ Профильной математике

а) В четырёхугольнике $ABCD$острые углы $ACB$ и $CAD$ опираются на равные хорды $AB$ и $CD$. Следовательно, $\angle ACB = \angle CAD$, а значит, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Аналогично прямые $CD$ и $BE$ параллельны. Значит, четырёхугольники $ABCD$ и $BCDE$ являются равнобедренными трапециями. Следовательно, $AC = BD = CE$.

б) Обозначим точку пересечения диагоналей $AD$ и $BE$ через $M$. Четырёхугольник $BCDM$ является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны. Значит: $BM = CD = AB = 3$, $DM = BC = DE = 4$. Следовательно, треугольники $ABM$ и $MDE$ равнобедренные, причём $\angle BAM = \angle AMB = \angle DME = \angle DEM$. Значит, эти треугольники подобны с коэффициентом подобия $\frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$, откуда получаем: $$ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{8}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{8}{3};$$ $$BE = BM + ME = \frac{17}{3}.$$