Задание №84949 ЕГЭ Профильной математике

а)

Изображаем ромб, вписываем окружность. Центр вписанной в ромб окружности находится в точке пересечения диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу. Из точки $A$ выходят две касательные к окружности: $AD$ и $AF$. По свойству касательных, выходящих из одной точки, $AP=AF$.

Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов. Треугольник $APF$ равнобедренный, а $AC$ — биссектриса угла $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{AH}$ — биссектриса, медиана, высота равнобедренного треугольника. Тогда угол $\angle ANP = 90^\circ$.

Сводим итог: $\mathrm{PF}\perp \mathrm{AC},\mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}\Rightarrow \mathrm{PF}\parallel \mathrm{BD} \text{(чтд)}$

б)

 

Аналогично пункту (а):
$\mathrm{KE}\parallel \mathrm{BD}$, $\mathrm{PK}\parallel \mathrm{AC}$, $\mathrm{FE}\parallel \mathrm{AC}$
$FPKE$ — прямоугольник.
$PE$ и $KE$ — диагонали.

Так как $FPKE$ вписанный прямоугольник, центр окружности $O$ лежит на пересечении диагоналей.

По теореме Пифагора: $FK=13$.

В $\mathrm{△}\mathrm{OHP}$:

$\mathrm{OK}=\frac{5}{2},\mathrm{PH}=6$

Пусть:

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}=2\mathrm{\alpha },\mathrm{\angle }\mathrm{B}=2\mathrm{\beta }$

$\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }={90}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }\mathrm{BFN}=\mathrm{\alpha }$ (из $\cos \mathrm{\angle }\mathrm{FAC}=\cos {60}^{\circ }$)
$\mathrm{\angle }\mathrm{POA}=\mathrm{\beta }$ ($\mathrm{OP}\perp \mathrm{AD};\mathrm{△}\mathrm{APO}$)
$\mathrm{\angle }\mathrm{HPO}=\mathrm{\alpha }$ ($\mathrm{PH}\perp \mathrm{AC};\mathrm{△}\mathrm{HPB}$)

Рассмотрим $\mathrm{△}\mathrm{FNB}$ и $\mathrm{△}\mathrm{HPB}$, они подобны:

$\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{HO}}=\frac{\mathrm{FN}}{\mathrm{PK}}$

Подставляем:

$\frac{\mathrm{BN}}{\frac{5}{2}}=\frac{\frac{5}{2}}{6}\mathrm{.}$

Находим $\mathrm{BN}$:

$\mathrm{BN}=\frac{5}{2}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{24}$

Диагональ ромба:

$\mathrm{BD}=\mathrm{BN}+\mathrm{NQ}+\mathrm{QD}$

$\mathrm{BD}=\frac{25}{24}+12+\frac{25}{24}$

Приводим к общему знаменателю:

$\mathrm{BD}=\frac{50}{24}+12=\frac{50}{24}+\frac{144}{12}$

$\mathrm{BD}=\frac{25}{12}+\frac{144}{12}=\frac{169}{12}$

Ответ пункта б: $\frac{169}{12}$