Задание №85424 ЕГЭ Профильной математике

а)

Изображаем ромб, вписываем окружность.

• Центр вписанной в ромб окружности находится в точке пересечения диагоналей.
• Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.
• Из точки $A$ выходят две касательные к окружности $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{AF}$.
• По свойству касательных, выходящих из одной точки, $\mathrm{AP}=\mathrm{AF}$.
• Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов.

Треугольник $\mathrm{APF}$ равнобедренный, и $\mathrm{AC}$ — биссектриса угла $\mathrm{A}$. Следовательно, $\mathrm{AH}$ — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника. Тогда угол $\mathrm{\angle }\mathrm{ANP}={90}^{\circ }$.

Сводим итог:

$$\begin{gathered} \mathrm{PF}\perp \mathrm{AC} \\ \mathrm{PF}\parallel \mathrm{BD} \end{gathered}$$

б)

Аналогично п. а)

• $\mathrm{KE}\parallel \mathrm{BD}$, $\mathrm{PK}\parallel \mathrm{AC}$, $\mathrm{FE}\parallel \mathrm{AC}$.
• $\mathrm{FPKE}$ — прямоугольник.
• $\mathrm{PE}$ и $\mathrm{KE}$ — диагонали.

Так как $\text{FPKE}$ вписанный прямоугольник, центр окружности $\mathrm{O}$ лежит на пересечении диагоналей.
По теореме Пифагора $\mathrm{FK}=10$.

В $\mathrm{△}\mathrm{OHP}$:

• $\mathrm{OK}=4$, $\mathrm{PH}=3$.

Пусть $\mathrm{\angle }\mathrm{A}=2\mathrm{\alpha }$ $\mathrm{\angle }\mathrm{B}=2\mathrm{\beta }$.
$\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }={90}^{\circ }$.

Углы:

• $\mathrm{\angle }\mathrm{BFN}=\mathrm{\alpha }$ (по свойству $\cos \mathrm{B}\parallel \mathrm{AC}$).
• $\mathrm{\angle }\mathrm{POA}=\mathrm{\beta }$ ($\mathrm{OP}\perp \mathrm{AD}$, $\mathrm{△}\mathrm{APD}$ прямоугольный).
• $\mathrm{\angle }\mathrm{HPO}=\mathrm{\alpha }$ ($\mathrm{PH}\perp \mathrm{AC}$, $\mathrm{△}\mathrm{HPO}$ прямоугольный).

Пропорции треугольников:

1. $\mathrm{△}\mathrm{FBN}~\mathrm{△}\mathrm{HPB}$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{HO}}=\frac{\mathrm{FN}}{\mathrm{PH}} \\ \frac{\mathrm{BN}}{4}=\frac{4}{3} \\ \mathrm{BN}=\frac{16}{3} \\ \mathrm{DQ}=\mathrm{BN}=\frac{16}{3} \\ \mathrm{BD}=\frac{16}{3}+6+\frac{16}{3}=\frac{50}{3} \end{gathered}$$

2. $\mathrm{△}\mathrm{APH}~\mathrm{△}\mathrm{PRO}$:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{PH}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{HO}} \\ \frac{\mathrm{AH}}{3}=\frac{3}{4} \\ \mathrm{AH}=\frac{9}{4} \\ \mathrm{AC}=\mathrm{AH}+\mathrm{AH}+8=\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+8=\frac{50}{4}=\frac{25}{2} \end{gathered}$$

Площадь ромба $\mathrm{ABCD}$:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{2}\cdot \frac{50}{3}=\frac{25\cdot 25}{6}=\frac{625}{6}\mathrm{.}$