Задание №89677 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть AB=AC=x, тогда BD=x—2.   По свойству биссектрисы CD:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \\ \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}=\frac{\mathrm{x}}{2} \\ {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-4=0 \\ {\mathrm{x}}_1=1+\sqrt{5} \\ {\mathrm{x}}_2=1-\sqrt{5} \end{gathered}$$

,  где x₂ < 0 не подходит.

Найдём длину биссектрисы CD:

$\mathrm{CD}=\sqrt{\mathrm{AC}·\mathrm{BC}-\mathrm{AD}·\mathrm{BD}}=\sqrt{2\mathrm{x}-2\mathrm{x}+4}=2$

$\mathrm{CD} = 2, \mathrm{BC} = 2\iff \mathrm{CD} = \mathrm{BC}.$ Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора из треугольника AHC найдём AH:

$$\begin{gathered} \mathrm{AH}=\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{CH}}^2}=\sqrt{{(1+\sqrt{5})}^2-1}=\sqrt{2\sqrt{5}+5}. \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{AH}·\mathrm{BC}=\frac{1}{2}·2·\sqrt{2\sqrt{5}+5}=\sqrt{2\sqrt{5}+5}. \end{gathered}$$