Задание №89678 ЕГЭ Профильной математике

а) В треугольнике ABD отрезки BC и DK являются медианами, которые точкой пересечения L делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, BL : CL = 2 : 1. Что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника ABC: ${\text{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{sin\alpha }.$

В свою очередь: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{KBL}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{BK}\cdot \mathrm{BL}\cdot \mathrm{sin\alpha }.$

Пусть BK=y,BL=2x,  тогда  BA=2y,BC=3x.  Запишем отношение площадей:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{KBL}}}=\frac{2\mathrm{y}\cdot 3\mathrm{x}\cdot 0,5\cdot \mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{y}\cdot 2\mathrm{x}\cdot 0,5\cdot \mathrm{sin\alpha }} \\ \frac{12}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{KBL}}}=\frac{3}{1} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{KBL}}=4. \end{gathered}$$