Задание №89679 ЕГЭ Профильной математике

а) Рассмотрим треугольник ABN. Биссектриса AO перпендикулярна стороне BN, значит она также является высотой. Следовательно, треугольник ABN – равнобедренный и AN=AB=6.  NC=AC—AN=9—6=3.

По свойству биссектрисы AM в треугольнике ABC:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}} \\ \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}}=\frac{2}{3}. \end{gathered}$$  

Так как  BC = 5,  то  BM = 2  и  CM = 3.

Так как MC = NC = 3, то треугольник NCM – равнобедренный и биссектриса CL является также медианой и высотой. Следовательно, биссектриса CL делит отрезок MN пополам. Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник AMC, где CP – биссектриса.  По свойству биссектрисы:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CA}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{AP}} \\ \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{AP}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \\ \mathrm{AP}:\mathrm{MP}=3:1 \end{gathered}$$

В треугольнике PMN отрезок PL является высотой и медианой. Следовательно, MP = PN и AP : PN =3 : 1.