Задание №89680 ЕГЭ Профильной математике

а) Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины, то есть $\mathrm{AM}=2{\mathrm{MA}}_1, \mathrm{BM}=2{\mathrm{MB}}_1, \mathrm{CM}=2{\mathrm{MC}}_1$. По условию задачи AC=3MB. Пусть ${\mathrm{MB}}_1=\mathrm{x}$,  тогда  BM=2x  и  AC=6x. Так как медиана ${\mathrm{BB}}_1=3\mathrm{x}$, проведенная к стороне  AC=6x, равна её половине, то треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом B. Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора из треугольника ABC:  ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CB}}^2$,  а из треугольников ABA₁  и  CBC₁:  ${{\mathrm{AA}}^2}_1={\mathrm{AB}}^2+{{\mathrm{BA}}^2}_1={\mathrm{AB}}^2+{\left(\frac{\mathrm{CB}}{2}\right)}^2$  и  ${{\mathrm{CC}}^2}_1={\mathrm{CB}}^2+{{\mathrm{BC}}^2}_1={\mathrm{CB}}^2+{\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)}^2$.  Складывая последние два равенства, получим:

${{\mathrm{AA}}^2}_1+{{\mathrm{CC}}^2}_1={\mathrm{AB}}^2+\frac{{\mathrm{CB}}^2}{4}+{\mathrm{CB}}^2+\frac{{\mathrm{AB}}^2}{4}=\frac{5}{4}({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CB}}^2)=\frac{5}{4}\cdot {\mathrm{AC}}^2=\frac{5}{4}\cdot 144=180.$