Задание №89682 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть площадь треугольника ABC равна S, A₁ — середина стороны BC. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, поэтому  ${\mathrm{S}}_{{\mathrm{ABA}}_1}=\frac{\mathrm{S}}{2}$.  Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому  ${\mathrm{MA}}_1=\frac{1}{3}{\mathrm{AA}}_1$. Значит,  ${\mathrm{S}}_{{\mathrm{BMA}}_1}=\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{{\mathrm{ABA}}_1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\mathrm{S}}{2}=\frac{\mathrm{S}}{6}$. Аналогично доказывается, что площадь каждого из треугольников, на которые медианы разбивают данный треугольник, равна $\frac{\mathrm{S}}{6}$. Тогда площадь каждого из треугольников AMB, AMC и BMC равны $\frac{\mathrm{S}}{3}$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть K и P – проекции точки М на катеты AC и BC соответственно, MK = 3, MP = 4. Пусть MA₁ = x, тогда MA = 2x, а AA₁ = 3x. Треугольники AKM и ACA₁ подобные по двум углам. Следовательно:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{KM}}{{\mathrm{CA}}_1}=\frac{\mathrm{AM}}{{\mathrm{AA}}_1} \\ \frac{\mathrm{MK}}{{\mathrm{CA}}_1}=\frac{2\mathrm{x}}{3\mathrm{x}} \\ {\mathrm{CA}}_1=\frac{3}{2}\mathrm{MK} \\ {\mathrm{CA}}_1=\frac{3}{2}\cdot 3=4,5. \end{gathered}$$

Тогда: $\mathrm{CB}=2\cdot {\mathrm{CA}}_1=2\cdot 4,5=9.$

Аналогично находим AC: ${\mathrm{CB}}_1=\frac{3}{2}\cdot \mathrm{PM}=\frac{3}{2}\cdot 4=6.$

Тогда: $\mathrm{CA}=2\cdot {\mathrm{CB}}_1=2\cdot 6=12.$

По теореме Пифагора из треугольника ABC:  

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{CB}}^2+{\mathrm{CA}}^2 \\ \mathrm{AB}=\sqrt{9^2+{12}^2}=15. \end{gathered}$$

Пусть MH высота треугольника AMB.

Тогда: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{AMB}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{MH}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot \mathrm{MH}=\frac{15\mathrm{MH}}{2}.$

Найдём площадь треугольника AMC:  ${\mathrm{S}}_{\mathrm{AMC}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{MK}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 3=18.$

Так как площади треугольников AMB и AMC равны, то: 

$$\begin{gathered} \frac{15\mathrm{MH}}{2}=18 \\ \mathrm{MH}=\frac{12}{5}=2,4. \end{gathered}$$