Задание №89683 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть сторона AC меньше стороны BC, тогда точки лежат в следующем порядке: A, H, L, M, B.  Так как CM медиана, то CM = BM = AM, то есть треугольники BCM и ACM равнобедренные. Пусть ∠MCB=∠MBC=α, тогда ∠CAM=∠ACM=90∘—α, а из треугольника ACH ∠ACH=90∘—∠CAH=90∘—(90∘—α)=α. Так как CL биссектриса, то ∠BCL=∠ACL=45∘. Тогда ∠LCM=∠LCB—∠MCB=45∘—α и ∠LCH=∠LCA—∠ACH=45∘—α,  то есть ∠LCM=∠LCH. Следовательно, CL биссектриса угла MCH. Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора из треугольника CHM: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{HM}}^2+{\mathrm{HC}}^2={\mathrm{CM}}^2 \\ \mathrm{HM}=\sqrt{5^2—3^3}=4 \end{gathered}$$ 

По свойству биссектрисы CL в треугольнике MCH:

$\frac{\mathrm{HL}}{\mathrm{LM}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CM}}=\frac{3}{5}$, то есть $\mathrm{HL}=\frac{3}{8}\mathrm{HM}=\frac{3}{8}\cdot 4=\frac{3}{2}.$

По теореме Пифагора из треугольника CHL:

$$\begin{gathered} {\mathrm{CL}}^2={\mathrm{CH}}^2+{\mathrm{HL}}^2 \\ \mathrm{CL}=\sqrt{3^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}. \end{gathered}$$