Задание №89686 ЕГЭ Профильной математике

а) Достроим треугольник $\mathrm{ABC}$ до параллелограмма $\mathrm{ABDC}$, как показано на рисунке.

По свойству параллелограмма, верно равенство $2({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BC}}^2$, или $2({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)={\left(2\mathrm{AM}\right)}^2+{\mathrm{BC}}^2$. Так как по условию $\mathrm{AB}=2,\mathrm{AC}=\sqrt{21},\mathrm{AM}=2.5$, то $2(22+\sqrt{{21}^2})={(2·2,5)}^2+{\mathrm{BC}}^2$, откуда $\mathrm{BC}=5$. Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник, значит, $\angle \mathrm{BAC}=90°$ и $△\mathrm{ABC}$ прямоугольный.

б) В прямоугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ выразим площадь двумя способами: $2\mathrm{S}=\mathrm{AB}·\mathrm{AC},2\mathrm{S}=\mathrm{BC}·\mathrm{AH}$, приравнивая правые части этих равенств, находим $\mathrm{AH}=\frac{\mathrm{AB}·\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{2·\sqrt{21}}{5}$. Катет $\mathrm{HM}$ найдём из прямоугольного треугольника $\mathrm{AHM}$ по теореме Пифагора: $\mathrm{HM}=\sqrt{{\mathrm{AM}}^2-{\mathrm{AH}}^2}=\sqrt{2.5^2-{\left(\frac{2·\sqrt{21}}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{84}{25}}=\sqrt{\frac{625-336}{100}}=\frac{17}{10}=1,7$.