Задание №89687 ЕГЭ Профильной математике

а) Проведём $\text{CE‖}\mathrm{B}\mathrm{D}$. $\mathrm{E}$ - точка пересечения прямых $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{CE}$. $\mathrm{BCED}$ - параллелограмм: $\mathrm{BC}\Vert \mathrm{D}\mathrm{E}$ как прямые, содержащие основания трапеции, $\mathrm{BD}\Vert \mathrm{C}\mathrm{E}$ по построению. $\mathrm{BC}=\mathrm{DE}=7$, тогда $\mathrm{AE}=\mathrm{AD}+\mathrm{DE}=34+7=41$. Заметим, что для треугольника $\mathrm{ACE}$ выполнена теорема Пифагора: ${\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{CE}}^2={\mathrm{AE}}^2$, следовательно, $\mathrm{AC}\perp \mathrm{CE}$, а так как $\mathrm{CE}\Vert \mathrm{B}\mathrm{D}$, то $\mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}$.

б) Проведём высоту $\mathit{C}\mathit{H}$ трапеции. $\mathit{C}\mathit{H}$ также является высотой треугольника $\mathrm{ACE}.\mathrm{CH}=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}}=\frac{9·40}{41}.{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{\mathrm{AD}+\mathrm{BC}}{2}·\mathrm{CH}=\frac{34+7}{2}·\frac{9·40}{41}=9·20=180$.