Задание №89700 ЕГЭ Профильной математике

a) Обозначим радиусы окружностей ${\mathrm{r}}_1=9,{\mathrm{r}}_2=\frac{81}{25},{\mathrm{r}}_3=1$, а центры этих окружностей ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$ соответственно, и проведём радиусы ${\mathrm{O}}_1\mathrm{E},{\mathrm{O}}_2\mathrm{D},{\mathrm{O}}_3\mathrm{F}$ к точкам касания со стороной $\mathrm{AC}$. Эти радиусы перпендикулярны касательной $\mathrm{AC}$.

По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, они образуют одинаковые углы с прямой, проходящей через центр окружности, то есть центры ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2$ лежат на биссектрисе угла $\mathit{A}$, а центры ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_3$ — на биссектрисе угла $\mathrm{C}$. Обозначим величину угла $\mathrm{C}$ через $2\mathrm{\beta }$. Тогда угол треугольника ${\mathrm{O}}_1\mathrm{CA}$ равен $\mathrm{\beta }$.

Проведём ${\mathrm{O}}_3\mathrm{N}\perp {\mathrm{O}}_1\mathrm{E}$, тогда ${\mathrm{O}}_3\mathrm{N}\Vert \mathrm{F}\mathrm{E}$ и ${\mathrm{O}}_3\mathrm{NEF}$ прямоугольник, $\mathrm{EN}={\mathrm{r}}_3,{\mathrm{O}}_1\mathrm{N}={\mathrm{O}}_1\mathrm{E}-\mathrm{EN}={\mathrm{r}}_1-{\mathrm{r}}_3=8.\angle {\mathrm{O}}_1\mathrm{CA}=\angle {\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_3\mathrm{N}=\mathrm{\beta }$ как соответственные при ${\mathrm{O}}_3\mathrm{N}\Vert \mathrm{A}\mathrm{C}$, секущая ${\mathrm{CO}}_1$.

Треугольник ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_3\mathrm{N}$ прямоугольный, ${\mathrm{O}}_3{\mathrm{O}}_1={\mathrm{r}}_1+{\mathrm{r}}_3=10,{\mathrm{O}}_3\mathrm{N}=\sqrt{{\mathrm{O}}_3{\mathrm{O}}_1^2-{\mathrm{O}}_1{\mathrm{N}}^2}=6,\mathrm{tg\beta }=\frac{{\mathrm{O}}_1\mathrm{N}}{{\mathrm{O}}_3\mathrm{N}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$,

$\mathrm{tg}2\mathrm{\beta }=\frac{2\mathrm{tg\beta }}{1-{\mathrm{tg}}^2\mathrm{\beta }}=\frac{2·\frac{4}{3}}{1-{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}=-\frac{24}{7}$.

Получили, что угол $\mathit{C}$ тупой. $\angle \mathrm{C}=\mathrm{\pi }-\mathrm{arctg}\frac{24}{7}$.

б) 1) $\mathrm{tg\beta }=\frac{{\mathrm{O}}_1\mathrm{E}}{\mathrm{EC}},\mathrm{EC}={\mathrm{r}}_1:\mathrm{tg\beta }=9:\frac{4}{3}=\frac{27}{4}$.

Обозначим величину угла ${\mathrm{O}}_1\mathrm{AC}$ треугольника через $\mathrm{\alpha }$. Найдём $\mathrm{EA}={\mathrm{r}}_1:\mathrm{tg\alpha }$.

Проведём ${\mathrm{O}}_2\mathrm{M}\perp {\mathrm{O}}_1\mathrm{E}$, тогда аналогично пункту а) $\mathrm{EM}={\mathrm{r}}_2$,

${\mathrm{O}}_1\mathrm{M}={\mathrm{O}}_1\mathrm{E}-\mathrm{EM}={\mathrm{r}}_1-{\mathrm{r}}_2=\frac{144}{25},{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2={\mathrm{r}}_1+{\mathrm{r}}_2=\frac{306}{25}$.

$$\begin{gathered} {\mathrm{O}}_2\mathrm{M}=\sqrt{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2^2-{\mathrm{O}}_1{\mathrm{M}}^2}=\frac{270}{25} \\ \mathrm{tg\alpha }=\frac{{\mathrm{O}}_1\mathrm{M}}{{\mathrm{O}}_2\mathrm{M}}=\frac{8}{15} \\ \mathrm{AE}={\mathrm{r}}_1:\mathrm{tg\alpha }=9:\frac{8}{15}=\frac{135}{8} \end{gathered}$$

$\mathrm{AC}=\mathrm{AE}+\mathrm{EC}=\frac{189}{8}$.

${\mathrm{S}}_{{\mathrm{AO}}_1{\mathrm{O}}_3}={\mathrm{S}}_{{\mathrm{AO}}_1\mathrm{C}}-{\mathrm{S}}_{{\mathrm{ACO}}_3}=\frac{1}{2}{\mathrm{r}}_1·\mathrm{AC}-\frac{1}{2}{\mathrm{r}}_3·\mathrm{AC}=\frac{1}{2}({\mathrm{r}}_1-{\mathrm{r}}_3)·\mathrm{AC}=94.5$.