Задание №89701 ЕГЭ Профильной математике

а) По условию задачи выполним чертёж.

Угол $\mathrm{ANM}$ опирается на диаметр $\mathrm{AM}$ большей окружности, следовательно, он — прямой. Угол $\mathrm{ADO}$ опирается на диаметр $\mathrm{AO}$ меньшей окружности, поэтому он тоже прямой. Таким образом, прямые $\mathrm{MN}$ и $\mathrm{BC}$ перпендикулярны прямой $\mathrm{AN}$, значит, они параллельны.

б) Углы $\mathrm{AOC}$ и $\mathrm{AMN}$ равны как соответственные при параллельных прямых $\mathrm{MN},\mathrm{BC}$ и секущей $\mathrm{AM}$. Диаметр $\mathrm{BC}$ большей окружности перпендикулярен хорде $\mathrm{AN}$. Значит, точка $\mathrm{C}$ — середина дуги $\mathrm{AN}$ (в равнобедренном треугольнике $\mathrm{AON}$ высота $\mathrm{OD}$ является одновременно медианой и биссектриссой). Следовательно, луч $\mathrm{MC}$ является биссектрисой угла $\mathrm{AMN}$ прямоугольного треугольника $\mathrm{AMN}$, поэтому

$\frac{\mathrm{NK}}{\mathrm{KA}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MA}}=\cos \angle \mathrm{AMN}=\cos \angle \mathrm{AOC}=\sqrt{1-{\sin }^2\angle \mathrm{AOC}}=\frac{1}{3}$.