Задание №89703 ЕГЭ Профильной математике

а) $△\mathrm{POB}~△\mathrm{KOA}$ по первому признаку подобия: $\angle \mathrm{PBO}=\angle \mathrm{OAK}=90°,\angle \mathrm{BOP}=\angle \mathrm{AOK}$ как вертикальные.

Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OK}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{AM}}$ (1).

$△\mathrm{ONB}~△\mathrm{AOM}$ по первому признаку подобия: $\angle \mathrm{BNO}=\angle \mathrm{AMO}=90°,\angle \mathrm{BON}=\angle \mathrm{AOM}$ как вертикальные, отсюда $\frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{AM}}$ (2).

Из 1) и 2) следует $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OK}}=\frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OM}}$.

Следовательно, $△\mathit{O}\mathit{P}\mathit{K}\sim △\mathit{O}\mathit{N}\mathit{M}$ по второму признаку подобия: $\angle \mathit{P}\mathit{O}\mathit{K}$ — общий, $\frac{\mathit{O}\mathit{P}}{\mathit{O}\mathit{N}}=\frac{\mathit{O}\mathit{K}}{\mathit{O}\mathit{M}}$.

Из подобия следует $\angle \mathrm{OPK}=\angle \mathrm{ONM}$ . Углы $\mathrm{OPK}$ и $\mathrm{ONM}$ соответственные при прямых $\mathrm{PK}$ и $\mathrm{NM}$ и секущей $\mathrm{OP}$ . Следовательно, $\mathrm{PK}\Vert \mathrm{M}\mathrm{N}$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $\mathrm{AEBO}\angle \mathrm{AEB}=45°$ (по условию) $\angle \mathrm{AOB}=360°-(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{E})=360°-225°=135°$. В $\text{△AOM∠AMO=90°,∠AOM=180°−135°=45°,AM=MO}$.

Обозначим $\mathrm{OM}=\mathrm{x}$, тогда $\mathrm{AM}=\mathrm{x},\mathrm{AO}=\mathrm{OM}\sqrt{2}=\mathrm{x}\sqrt{2}$.

В $△\mathrm{OAK}\angle \mathrm{OAK}=90°,\angle \mathrm{AOM}=45°$, то есть $\mathrm{AO}=\mathrm{AK},\mathrm{AO}=\mathrm{x}\sqrt{2},\mathrm{KO}=\mathrm{AO}\sqrt{2}=\mathrm{x}\sqrt{2}·\sqrt{2}=2\mathrm{x}$.

По доказанному в пункте а) $△\mathrm{OPK}~△\mathrm{ONM}$, значит, $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{KP}}=\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OK}}$.

Пусть $\mathrm{OM}=\mathrm{x},\mathrm{OK}=2\mathrm{x}$.

$\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{KP}}=\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}=1:2$