Задание №89704 ЕГЭ Профильной математике

а) $\mathrm{O}$ — точка пересечения высот $\mathrm{ME}$ и $\mathrm{PF}$. $△\mathrm{POE}~△\mathrm{MFO}$ по первому признаку подобия: $\angle \mathrm{PEO}=\angle \mathrm{OFM}=90°,\angle \mathrm{EOP}=\angle \mathrm{FOM}$ как вертикальные.

Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{EH}}{\mathrm{FK}}$ (1).

$△\mathrm{OHE}~△\mathrm{FOK}$ по первому признаку подобия: $\angle \mathrm{EHO}=\angle \mathrm{FKO}=90°,\angle \mathrm{EOH}=\angle \mathrm{FOK}$ как вертикальные, отсюда $\frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OK}}=\frac{\mathrm{EH}}{\mathrm{FK}}$ (2).

Из 1) и 2) следует $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OK}}$.

Следовательно, $△\mathrm{OPM}~△\mathrm{OHK}$ по второму признаку подобия: $\angle \mathrm{POM}$ — общий, $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OH}}=\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OK}}$.

Из подобия следует $\angle \mathrm{OPM}=\angle \mathrm{OHK}$ . Углы $\mathrm{OPM}$ и $\mathrm{OHK}$ соответственные при прямых $\mathrm{MP}$ и $\mathrm{KH}$ и секущей $\mathrm{OP}$. Следовательно, $\mathrm{MP}\Vert \mathrm{K}\mathrm{H}$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $\mathrm{NFOE}\angle \mathrm{FOE}=360°-(\angle 90°+\angle 90°+\angle \mathrm{N})=360°-240°=120°$. В $△\mathrm{FOK}\angle \mathrm{FKO}=90°,\angle \mathrm{FOK}=60°$, как смежный с $\angle \mathrm{FOE}=120°$, тогда $\angle \mathrm{OFK}=30°$.

Обозначим $\mathrm{OK}=\mathrm{x}$, тогда $\mathrm{FO}=2\mathrm{x}$.

В $△\mathrm{OFM}\angle \mathrm{MFO}=90°,\angle \mathrm{FOM}=60°,\angle \mathrm{FMO}=30°$, то есть $\mathrm{FO}=\frac{1}{2}\mathrm{MO}$, значит, $2\mathrm{x}=\frac{1}{2}\mathrm{MO},\mathrm{MO}=4\mathrm{x}$.

По доказанному в пункте а) $△\mathrm{OMP}~△\mathrm{OKH}$, значит, $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{KH}}=\frac{\mathrm{MO}}{\mathrm{OK}}$, но $\mathrm{MO}=4\mathrm{x},\mathrm{OK}=\mathrm{x}$, следовательно, $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{KH}}=\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=4:1$