Задание №89705 ЕГЭ Профильной математике

а) Отрезок, соединяющий вершину прямого угла и середину гипотенузы, равен половине длины гипотенузы, то есть $\mathrm{AK}=\mathrm{KB}=\mathrm{KC}.\mathrm{AR}$ — биссектриса угла $\mathrm{BAC}$, значит $\angle \mathrm{CAR}=\angle \mathrm{BAR}=\mathrm{\alpha }$.

$\mathrm{KP}$ — средняя линия $△\mathrm{ABC}$, значит, $\mathrm{KP}\Vert \mathrm{A}\mathrm{C}$.

Накрест лежащие углы $\mathrm{CAR}$ и $\mathrm{ARK}$ равны (секущая $\mathrm{AR}$).

В треугольнике $\mathrm{AKR}$ равны углы $\mathrm{KAR}$ и $\mathrm{KRA}$, значит $\text{AK=KR}$.

Получим $\mathrm{AK}=\mathrm{KB}=\mathrm{KC}=\mathrm{KR}$, значит точки $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ и $\mathrm{R}$ лежат на окружности с центром $\mathrm{K}$.

б) $\angle \mathrm{CBR}=\angle \mathrm{CAR}$ и $\angle \mathrm{BAR}=\angle \mathrm{BCR}$ (опираются на дуги $\mathrm{CR}$ и $\mathrm{BR}$ соответственно), таким образом, треугольники $\mathrm{AKR}$ и $\mathrm{BCR}$ подобны по двум углам. По теореме синусов для треугольника $\mathrm{ABR}$ получим $\frac{\mathrm{BR}}{\sin \angle \mathrm{RAB}}=2\mathrm{r}$, где $\mathit{r}$ — радиус описанной окружности, то есть $2\mathrm{r}=\mathrm{AB}$. Получили $\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{AB}}=\sin \angle \mathrm{RAB}=\mathrm{sin\alpha }$.

Но коэффициент подобия треугольников $\mathrm{AKR}$ и $\mathrm{BCR}$ равен $\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{BR}}=\frac{2\mathrm{AK}}{2\mathrm{BR}}=\frac{\mathrm{AB}}{2\mathrm{BR}}=\frac{1}{2\mathrm{sin\alpha }}$.

По условию $\sin \angle \mathrm{BAC}=\sin 2\mathrm{\alpha }=\frac{15}{17}$.

Тогда $\cos 2\mathrm{\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{15}{17}\right)}^2}=\frac{8}{17}$,

$\cos 2\mathrm{\alpha }=1-2{\sin }^2\mathrm{\alpha }=\frac{8}{17},2{\sin }^2\mathrm{\alpha }=\frac{9}{17}$.

Площади треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому $\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{AKR}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{BCR}}}={\left(\frac{1}{2\mathrm{sin\alpha }}\right)}^2=\frac{1}{2·\frac{9}{17}}=\frac{17}{18}$.