Задание №89707 ЕГЭ Профильной математике

Продолжим боковые стороны трапеции $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{DC}$ до пересечения в точке $\mathrm{S}$. Ясно, что $\mathrm{BC}$ — меньшее основание, иначе перпендикуляр $\mathrm{AE}$ будет падать на продолжение $\mathrm{CD}$, а не на саму сторону, что противоречит условию.

а) Для доказательства перпендикулярности прямых $\mathrm{FC}$ и $\mathrm{CD}$ достаточно доказать подобие треугольников $\mathrm{SFC}$ и $\mathrm{SAE}$.

Заметим, что $△\mathrm{SBC}~△\mathrm{SAD}$ по двум углам ($\angle \mathrm{SBC}=\angle \mathrm{SAD}=90°,\angle \mathrm{S}$ — общий). Тогда $\frac{\mathrm{SB}}{\mathrm{SA}}=\frac{\mathrm{SC}}{\mathrm{SD}}$, то есть $\mathrm{SB}·\mathrm{SD}=\mathrm{SA}·\mathrm{SC}$.

С другой стороны, $△\mathrm{SBE}~△\mathrm{SFD}$ по двум углам: $\angle \mathrm{SBE}=\angle \mathrm{SFD}$ как соответственные углы при параллельных прямых $\mathrm{BE}$ и $\mathrm{FD}$ и секущей $\mathrm{SA},\angle \mathrm{S}$ — общий.

Тогда $\frac{\mathrm{SB}}{\mathrm{SF}}=\frac{\mathrm{SE}}{\mathrm{SD}}$, отсюда $\mathrm{SB}·\mathrm{SD}=\mathrm{SF}·\mathrm{SE}$.

Следовательно, $\mathrm{SA}·\mathrm{SC}=\mathrm{SB}·\mathrm{SD}=\mathrm{SF}·\mathrm{SE}$.

Тогда $\mathrm{SA}·\mathrm{SC}=\mathrm{SF}·\mathrm{SE},\frac{\mathrm{SA}}{\mathrm{SF}}=\frac{\mathrm{SE}}{\mathrm{SC}}$.

Отсюда $△\mathrm{SAE}~△\mathrm{SFC}$ по второму признаку.

Тогда $\angle \mathrm{SCF}=\angle \mathrm{SEA}=90°,\mathrm{FC}\perp \mathrm{SD}$, что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $\mathrm{SBE}$ и $\mathrm{SFD}$ следует $\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{FD}}=\frac{\mathrm{SB}}{\mathrm{SF}}$.

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{BCS}=180°-\angle \mathrm{BCD}=60° \\ \mathrm{SB}=\mathrm{SCsin}60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{SC} \\ \angle \mathrm{CSF}=90°-\angle \mathrm{BCS}=30° \end{gathered}$$

Из $△\mathrm{SFC}$ следует, что $\mathrm{CS}=\mathrm{SFcos}30°=\mathrm{SF}\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\mathrm{SB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{SC}=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{SF};\frac{\mathrm{SB}}{\mathrm{SF}}=\frac{3}{4}=0.75$.