Задание №89708 ЕГЭ Профильной математике

а) Общая касательная, проведенная к окружностям в точке $\mathrm{K}$, пересекает $\mathrm{AB}$ в точке $\mathrm{M}$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $\mathrm{AM}=\mathrm{KM}$ и $\mathrm{KM}=\mathrm{BM}$. Треугольник $\mathrm{AKB}$, у которого медиана $\mathrm{KM}$ равна половине стороны $\text{AB}$, к которой она проведена, прямоугольный, $\angle \mathrm{AKB}=90°$. Вписанный угол $\mathrm{AKD}$ прямой, поэтому он опирается на диаметр $\mathrm{AD}$, значит, $\mathrm{AD}\perp \mathrm{AB}$. Аналогично, получаем, что $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AB}$. Следовательно, прямые $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{BC}$ параллельны.

б) Пусть первая окружность имеет радиус $8$, а вторая — радиус $2$.

Проведём ${\mathrm{O}}_2\mathrm{H}\perp \mathrm{AD}$, тогда ${\mathrm{O}}_2\mathrm{HAB}$ — прямоугольник и $\mathrm{AH}={\mathrm{O}}_2\mathrm{B}=2,\mathrm{AB}={\mathrm{O}}_2\mathrm{H}$. Из $△{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2\mathrm{H}$ получим ${\mathrm{O}}_2{\mathrm{H}}^2={\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2^2-{\mathrm{O}}_1{\mathrm{H}}^2={(2+8)}^2-{(8-2)}^2=64,{\mathrm{O}}_2\mathrm{H}=8=\mathrm{AB}$.

$△{\mathrm{O}}_2\mathrm{PB}~△{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2\mathrm{H}$ (по двум углам), 

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{O}}_2\mathrm{B}}{{\mathrm{O}}_2\mathrm{P}}=\frac{{\mathrm{O}}_1\mathrm{H}}{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2} \\ \frac{2}{{\mathrm{O}}_2\mathrm{P}}=\frac{8-2}{8+2} \\ {\mathrm{O}}_2\mathrm{P}=\frac{10}{3} \end{gathered}$$.

Проведём высоту $\mathit{K}\mathit{E}$ в $△\mathit{A}\mathit{K}\mathit{B}$, получим, что $△{\mathit{O}}_2\mathit{B}\mathit{P}\sim △\mathit{K}\mathit{E}\mathit{P}$ (по двум углам). 

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{KE}}{{\mathrm{O}}_2\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{KP}}{{\mathrm{O}}_2\mathrm{P}} \\ \frac{\mathrm{KE}}{2}=\frac{2+\frac{10}{3}}{\frac{10}{3}} \\ \mathrm{KE}=1.6·2=3.2 \end{gathered}$$

${\mathrm{S}}_{\mathrm{AKB}}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}·\mathrm{KE}=\frac{1}{2}·8·3.2=12.8$.