Задание №89710 ЕГЭ Профильной математике

а) ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2\perp \mathrm{MN},{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$ делит хорду $\mathrm{MN}$ и дугу $\mathrm{MN}$ второй окружности пополам.

$$\begin{gathered} \angle {\mathrm{MO}}_2{\mathrm{O}}_1=\frac{1}{2}\mathrm{︶}\mathrm{MN}; \\ \angle \mathrm{ACN}=\angle \mathrm{MCN}=\frac{1}{2}\mathrm{︶}\mathrm{MN}=\angle {\mathrm{MO}}_2{\mathrm{O}}_{1.} \end{gathered}$$

$\angle \mathrm{ANM}=90°$ как угол, опирающийся на диаметр, поэтому $\mathrm{AN}\perp \mathrm{MN},{\mathrm{O}}_1\mathrm{O}2\perp \mathrm{MN}$, значит, $\mathrm{AN}\Vert {\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$, откуда $\angle {\mathrm{MO}}_1{\mathrm{O}}_2=\angle \mathrm{MAN}$. Итак, $△\mathrm{ACN}~△{\mathrm{MO}}_1{\mathrm{O}}_2$ по двум углам.

б) Введём обозначения: $\mathrm{r}$ - радиус меньшей окружности, тогда $2.5\mathrm{r}$ -радиус большей окружности.

$\angle \mathrm{MNB}=180°-\angle \mathrm{ANM}=90°$, тогда $\mathrm{MB}$ - диаметр второй окружности (проходит через ${\mathrm{O}}_2$). $\angle \mathrm{MCB}=90°$, как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Значит, $△\mathrm{AMN}~△\mathrm{BCM}$ по двум углам ($\angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{MCB}=90°,\angle \mathrm{AMN}=\angle \mathrm{CMB}$)

$\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}}$, но $\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}}=\frac{2·2.5\mathrm{r}}{2\mathrm{r}}=2.5$.

$\mathrm{MC}=2.5·\mathrm{MN}=5$.