Задание №2254. В основании пирамидыDABCлежит прямоугольный треугольникABCс

Задание №2254 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #2254

В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 9. Точка M — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE = 3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF = 5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно $корень из { 34}.$

а) Докажите, что N — середина ребра BD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.

Ответ:

Решение

а) Так как треугольники FEC и ABC имеют общий угол и $CF:CA = CE:CB = 1:3,$ то эти треугольники подобны. Значит, $\angle CFE=\angle CAB,$ откуда $FE||AB.$ Тогда $EF||(ABD)$ и плоскость MEF пересекает плоскость ABD по прямой, параллельной прямой EF, а, следовательно, параллельной AB. Таким образом, отрезок MN — средняя линия треугольника ABD и точка N — середина ребра BD.

б) Сечение пирамиды плоскостью MNE — трапеция, высота h которой равна расстоянию от точки M до прямой EF, то есть $h= корень из { 34}.$ Далее имеем:

$AB= корень из { AC в степени 2 плюс BC в степени 2 }=3 корень из { 34},EF= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 AB= корень из { 34},MN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 34}.$

Окончательно получаем: $S_{MNEF}= дробь, числитель — MN плюс EF, знаменатель — 2 умножить на h= дробь, числитель — 5 корень из { 34}, знаменатель — 4 умножить на корень из { 34}=42,5.$

Понятно ли решение?

Решения от учеников

Задание №53477 Задание №62356 Задание №58397 Задание №53692 Задание №29463 Задание №89375 Задание №89376 Задание №89377 Задание №89378 Задание №89379 Задание №89380 Задание №29351 Задание №56821 Задание №2259 Задание №29352

Бесплатно

Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!