Задание №60950 ЕГЭ Профильной математике

а)  Грани ABD и CBD равны по трем сторонам, следовательно, равны их медианы AM и CM, проведенные к общей стороне BD. Значит, треугольник ACM  — равнобедренный, поэтому его медиана MN также является высотой, а значит, отрезок MN перпендикулярен стороне AC. Аналогично, рассматривая грани BAC и DAC с общим ребром AС, доказывается, что отрезок MN перпендикулярен ребру BD.

Пусть плоскость α пересекает ребра AD, AB и BC в точках L, P и Q, соответственно (см. рис.). По условию секущая плоскость параллельна ребрам AC и BD, а потому прямые KQ и DB, а также PQ и AC попарно параллельны. Тогда из перпендикулярности прямой MN прямым AC и BD следует перпендикулярность прямой MN прямым KQ и PQ. Таким образом, прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости α, а потому перпендикулярна и всей плоскости α.

б)  Из рассуждений п. а) следует, что стороны сечения являются средними линиями тех граней, в которых они лежат. Это означает, что сечение разбивает тетраэдр на две равные фигуры, и потому делит отрезок MN пополам. Тогда расстояние от точки M до плоскости α равно половине длины MN.

Запишем теорему косинусов для треугольника ACD:

Тогда:

По теореме косинусов вычислим отрезок DN из треугольника AВТ. Находим:

Из прямоугольного треугольника DMN найдем

следовательно,

Ответ: б)