Задание №66510 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть  пересекает диагонали  и  в точках  и  соответственно. Так как  то  пересечет плоскости, в которых находится  по прямым, параллельным  Следовательно, проведем в плоскостях  и  прямые   (см.рис.). Получим сечение пирамиды плоскостью  — четырехугольник 

Так как  то  следовательно,  пересечет плоскость  в которой лежит  по прямой, параллельной  Следовательно,   

Осталось доказать, что 

По теореме Фалеса  и  — середины диагоналей. Следовательно, 

 ( — общий,  как соответственные при  и секущей ). Следовательно,

 ( — общий,  как соответственные при  и секущей ). Следовательно,

Так как  — средняя линия трапеции  то

Следовательно,  то есть  значит,  — трапеция. Чтд.

б) По свойству трапеции      Тогда  Так как  то   

Из  описанного в пункте а), следует, что

Из  описанного в пункте а), следует, что

Также средняя линия равна

Так как       — высота трапеции  Следовательно, ее площадь равна