Задание №66511. В прямой пятиугольной призмевысотаравнаа четырехугольльник

Задание №66511 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66511

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA1B1C1D1E1$ высота $AA1$ равна $3√5,$ $BC =CD = 6,$ а четырехугольльник $ABDE$ — прямоугольник со сторонами $AB = 5,$ $√ - AE = 4 5.$

а) Докажите, что плоскости $CA1E1$ и $AED1$ перпендикулярны.

б) Найдите объем многогранника $CAED1B1.$

Ответ

Ответ:

Решение

а) Сечение призмы плоскостью $AED1$ — четырехугольник $AB1D1E.$ Построим сечение призмы плоскостью $CA1E1.$ Назовем эту плоскостью плоскостью $α.$ Найдем линию пересечения $α$ и плоскости $BB1D1.$ Плоскости $BB1D1$ и $AA1E1$ параллельны, следовательно, плоскость $CEE1$ пересечет их по параллелльным прямым. Значит, если $CE ∩BD = X1,$ то проведем $X1X2 ∥ EE1.$ Получается, что $X2$ — точка пересечения прямой $CE1$ с плоскостью $BB D , 1 1$ а значит и плоскости $α$ с плоскостью $BB D . 1 1$ Так как $BD ∥ AE ∥A1E1,$ то $α$ пересечет плоскость $BB1D1$ по прямой $MN ∥ BD$ (см.рис.). Следовательно, $CNE1A1M$ — сечение призмы плоскостью $α.$

Докажем, что $ED1 ⊥ α.$ Тогда по признаку получим, что $AED1 ⊥ α.$ $EE1 ⊥ (A1B1C1),$ $D1E1 ⊥ A1E1$ $⇒$ по ТТП $ED1 ⊥ A1E1.$

Докажем, что $ED1 ⊥ E1N,$ то есть докажем, что $∘ ∠NOD1 = 90 .$ План такой: 1) найдем $ND1$ и $E1Nl$ 2) найдем $cos∠D1NE1;$ 3) найдем $NO;$ 4) докажем, что $NO :ND1 = cos∠D1NE1.$ Отсюда будет следовать, что $∠NOD1 = 90∘.$

1.

Проведем $CH ⊥ AE.$ $CH ∩ BD = K$ $⇒$ $CK ⊥ BD.$ Так как $△BCD$ равнобедренный, то $K$ — середина $BD.$ Следовательно, по теореме Пифагора

∘------√--- CK = 62 − (2 5)2 = 4

Так как $KH ∥ AB,$ то $KH = AB = 5.$ Следовательно, $CH =9.$

$△CKX1 ∼ △CHE$ $⇒$

CX1 CK 4 CE--= CH- = 9

$△CX1X2 ∼△CEE1$ $⇒$

X1X2 CX1 4 EE1--= -CE- = 9

$ND = X1X2 = 4EE1 9$ $⇒$ $ND1 = 5EE1 = 5 ⋅3√5-= 5√5. 9 9 3$

По теореме Пифагора

∘ ----------- 2 ( 5√-)2 5√-- E1N = 5 + 3 5 = 3 14

2.

$∠D1NE1 = ϕ.$

∘--- cosϕ = D1N- = 5- EN1 14

3.

$△NOD ∼ △E OE 1 1$ $⇒$

-NO- ND1- 5 OE1 = EE1 = 9

Следовательно, можно принять $NO = 5x, 9$ $OE1 = x.$ Тогда $E N = 14x 1 9$ $⇒$

5 5 5√-- NO = 14E1N = 14 ⋅3 14

4.

5- 5√-- ∘--- NO--= 145⋅3√14-= 5-= cosϕ ND1 9 ⋅3 5 14

Таким образом, $ED1 ⊥ E1N$ и $ED1 ⊥ A1E1$ $⇒$ $ED1 ⊥ α$ $⇒$ $(AED1 )⊥ α.$

$PIC$

б) $ABKH$ — параллелограмм, следовательно, $AH = BK = 1BD. 2$ Следовательно, $H$ — середина $AE.$ Следовательно, $CH$ — медиана и высота в $△ACE$ $⇒$ $AC = CE.$ Тогда $△ABC =△CDE$ $⇒$ $VB1ABC = VD1CDE.$

Объем многогранника $CAED1B1$ равен ( $V$ — объем всей призмы)

V0 = V − 2 ⋅ VD1CDE − VAA1B1EE1D1 − VCB1C1D1 тре◟уг.◝ п◜ира◞мида пр◟ямаят◝р◜еуг. при◞зма тр◟еуг. п◝◜ирам◞ид&#x043

1.: Найдем $√- ( √ - √ ) VABCDEA1B1C1D1E1 = V = AA1 ⋅(SABDE + SBCD )= 3 5⋅ 5⋅4 5+ 12 ⋅4⋅4 5 = 420$
2.: Найдем $VD1CDE = 1 ⋅DD1 ⋅SCDE. 3$ $( √- 1 √ - 1 √ -) √ - SCDE = (SABDE + SBCD − SACE):2 = 5⋅4 5 + 2 ⋅4⋅4 5− 2 ⋅9⋅4 5 :2 = 5 5$
Следовательно,
$1 √- √ - VD1CDE = 3 ⋅3 5 ⋅5 5= 25$
3.: Найдем $1 √- 1 √- VAA1B1EE1D1 = A1E1 ⋅2 ⋅AA1 ⋅A1B1 = 4 5⋅2 ⋅3 5⋅5 = 150$
4.: Найдем $1 1 √ - 1 √ - VCB1C1D1 = 3 ⋅CC1 ⋅SB1C1D1 = 3 ⋅3 5⋅2 ⋅4⋅4 5= 40$