Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №14
  • Задание №14

    • Задание №66512 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #66512

    №14 по КИМ

    В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром √13-  и стороной основания 6  вписан шар. Плоскость α  перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через ее середину.

    а) Докажите, что плоскость α  и шар пересекаются более чем в одной точке.

    б) Найдите площадь сечения шара плоскостью α.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

    а) Пусть SABC  — правильная треугольная пирамида с основанием ABC.  По свойству правильной пирамиды центр O  вписанного в нее шара лежит на ее высоте SH.  Пусть CC1  — высота основания, M  — середина высоты SH.

    Плоскость пересекает шар в более чем одной точке, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара. Так как α ⊥ SH,  то OM ⊥ α,  следовательно, требуется доказать, что OM <r.  Это равносильно тому, что  1 1 OM < OH ⇔ OH > 2MH ⇔ OH > 4SH.

     

    PIC

    Высота правильного треугольника со стороной a  равна √ - a23 ,  следовательно, CC1 = 3√3 ⇒ CH = 2√3.  Тогда по теореме Пифагора SH = √13−-12= 1.  Так как HC =√3, 1  то по теореме Пифагора SC = √3-+1 = 2. 1  Рассмотрим △SHC1.  OK = OH = r  — радиусы шара. Так как △SKO ∼ △SHC1,  то

    1− r r √ - -2--= √-- ⇔ r = 2 3− 3 3

    Так как 2√3 − 3 > 2⋅ 3− 3 > 1, 2 4  то r > 1SH. 4  Чтд.

     

    PIC

    б) Сечение шара плоскостью α  — окружность с центром в точке M  радиуса MN.  OM = 12SH − r = 12 − r.  Рассмотрим прямоугольный △OMN :

    2 2 ( 1 )2 2 1 √- MN = r − 2 − r ⇒ MN = 4(8 3− 13)

    Следовательно, площадь сечения равна

    S = π ⋅MN2 = π-(8√3-− 13). 4
     
    Ответ: б) π(8√3-− 13) 4
    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №53477Задание №58397Задание №53692Задание №89375Задание №89376Задание №89377Задание №89378Задание №89379Задание №89380Задание №2259Задание №56471Задание №56472Задание №56473Задание №56474Задание №56579
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта