Задание №67399 ЕГЭ Профильной математике

Найдём время в пути плота: $\frac{52}{4}=13 \text{часов.}$

Яхта отправилась на 1 час позже, то есть её время: $13-1=12 \text{часов}.$

Пусть скорость яхты $\mathrm{х} \text{км/ч}$. Тогда скорость по течению реки $\mathrm{х}+4 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$, а против течения $\mathrm{х}-4 \text{км/ч.}$

Время потраченное на путь по течению равно $\frac{140}{\mathrm{х}+4}\text{ км}$, а на путь против течения $\frac{140}{\mathrm{х}-4}\text{ км.}$

Зная, что всего яхта была на пути 12 часов, составим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{140}{\mathrm{х}+4}+\frac{140}{\mathrm{х}-4}=12 \\ \frac{280\mathrm{х}}{{\mathrm{х}}^2-16}=12 \\ ({\mathrm{х}}^2-16)·12=280\mathrm{х} \\ 12{\mathrm{х}}^2-280\mathrm{х}-192=0 \\ 3{\mathrm{х}}^2-70\mathrm{х}-48=0 \\ \mathrm{D}={(-70)}^2-4·3·(-48)=5476={74}^2 \\ {\mathrm{х}}_1=\frac{70+74}{6}=24 \\ {\mathrm{х}}_2=\frac{70-74}{6}=-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

скорость яхты может быть только положительна, поэтому $\mathrm{v}=24 \text{км/ч.}$