Задание №71530 ЕГЭ Профильной математике

а) В треугольнике $ANB$ имеем: $AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2} CD$.

Следовательно, он равнобедренный с основанием $AB$, а его медиана $NM$ перпендикулярна ребру $AB$.

Аналогично прямая $MN$ перпендикулярна ребру $CD$.

б) Плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $MN$, параллельна прямым $AB$ и $CD$, поскольку эти прямые перпендикулярны прямой $MN$.

Обозначим точки пересечения рёбер $AC$, $AD$ и $BD$ с плоскостью $\alpha$ через $L$, $P$ и $Q$ соответственно. Тогда четырёхугольник $KLPQ$ является прямоугольником, поскольку его стороны $KL$ и $PQ$ параллельны ребру $AB$, стороны $KQ$ и $LP$ параллельны ребру $CD$, а прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Треугольники $KCL$ и $KBQ$ равносторонние. Следовательно, $KL = KC = 3$, $QK = BK = 1$, а площадь прямоугольника $KLPQ$ равна $KL \cdot KQ = 3$.