Задание №84916 ЕГЭ Профильной математике

a)

Вспомним аксиому стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.

Рассмотрим плоскость $\left(\mathrm{DOF}\right)$. Она задаётся прямыми $\mathrm{OF}$ и $\mathrm{OD}$. Точка $\mathrm{P}$ лежит на прямой $\mathrm{OD}$, точка $\mathrm{E}$ лежит на прямой $\mathrm{OF}$, следовательно, точки $\mathrm{P}$ и $\mathrm{E}$ лежат в этой плоскости $\left(\mathrm{DOF}\right)$.

Точки $\mathrm{D}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ лежат в одной плоскости $\left(\mathrm{DOF}\right)$. Значит, они образуют четырёхугольник $\mathrm{DPEF}$.

Отрезки $\mathrm{DE}$ и $\mathrm{PF}$ — диагонали четырёхугольника $\mathrm{DPEF}$. Диагонали пересекаются в одной точке => прямые $\mathrm{DE}$ и ($\mathrm{PF}$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

б)
Пирамида правильная, значит, в основании равносторонний треугольник. Обозначим отношение $1:2$ не как $\mathrm{x}:2\mathrm{x}$, а как $2\mathrm{x}:4\mathrm{x}$. Потому, что $\mathrm{BC}$разделилось пополам, и, чтобы не брать по $1,5\mathrm{x}$, возьмём по $3\mathrm{x}$. Нам нужно найти отношение $\mathrm{AP}:\mathrm{PS}$, и даны другие отношения. 

Воспользуемся теоремой Менелая

$\mathrm{△}\mathrm{SBC}$, $\mathrm{EF}$ — секущая:

$\frac{\mathrm{SE}}{\mathrm{EB}}\cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=1.$

$\frac{2\mathrm{y}}{4\mathrm{y}}\cdot \frac{3\mathrm{x}}{3\mathrm{x}}\cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=1.$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=1 \\ \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=\frac{2}{1} \\ \frac{\mathrm{OS}}{\mathrm{CO}}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$\mathrm{△}\mathrm{ASC}$, $\mathrm{PD}$ — секущая:

$\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}\cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}\cdot \frac{\mathrm{SO}}{\mathrm{CO}}=1.$

$\frac{4\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}\cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}\cdot \frac{1}{2}=1.$

$$\begin{gathered} 2\cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}\cdot \frac{1}{2}=1 \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}=1 \end{gathered}$$

$$1$$