Задание №84967 ЕГЭ Профильной математике

а)
Докажем, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.

Вспомним аксиому стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.

Рассмотрим плоскость $DOF$. Она задаётся прямыми $OF$ и $OD$.

Точка $P$ лежит на прямой $OD$, точка $E$ лежит на прямой $OF$. Следовательно, точки $P$ и $E$ лежат в этой плоскости $DOF$.

Точки $D,P,E,F$ лежат в одной плоскости $DOF$.

Значит, они образуют четырёхугольник $DPEF$.

$DE$ и $PF$ — диагонали четырёхугольника $DPEF$, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Итог: прямые $DE$ и $PF$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

б)

На чертеже отмечены все данные из условия:

Пирамида правильная, значит, в основании лежит равносторонний треугольник.

Для удобства введём обозначения:

$AD=3x$, $DC=9x$,

$SE=y$, $BE=3y$,

$BC=AC=12x$,

$CF=2FB$, следовательно:

$CF+FB=BC$,

$3FB=12x$,

$FB=4x$,

$CF=8x$.

Необходимо найти отношение $AP:AS$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

Для треугольника SBC:

$EF$ является секущей.

Составляем соотношение: $\frac{\mathrm{SE}}{\mathrm{EB}}\cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=1$

Подставляем значения:

$\frac{\mathrm{y}}{3\mathrm{y}}\cdot \frac{4\mathrm{x}}{8\mathrm{x}}\cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=1$

$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=1$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OS}}=6 \\ \frac{\mathrm{OS}}{\mathrm{CO}}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Для треугольника ASC:

$PD$ является секущей.

Применяем теорему Менелая: $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}\cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}\cdot \frac{\mathrm{SO}}{\mathrm{CO}}=1$

Подставляем известные значения:

$\frac{9\mathrm{x}}{3\mathrm{x}}\cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}\cdot \frac{1}{6}=1$

$\text{3⋅}\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}\cdot \frac{1}{6}=1$

$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}$

Отношение AP:AS:

$AP=2z$, $PS=z$, следовательно: $$AS=AP+PS=2z+z=3z.$$

Таким образом: $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AS}}=\frac{2\mathrm{z}}{3\mathrm{z}}=\frac{2}{3}$