Задание №85770 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{x}\text{\hspace{0.17em}км/ч}$ — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $\mathrm{x}+16\text{\hspace{0.17em}км/ч}$. Обозначим расстояние между пунктами за $2\mathrm{S}\text{\hspace{0.17em}км}$.

Таблица движения автомобилей:

Автомобиль	Скорость	Время	Расстояние
Первый автомобиль	$\mathrm{x}$	$\frac{2\mathrm{S}}{\mathrm{x}}$	$2\mathrm{S}$
Второй автомобиль (1-я половина пути)	$24$	$\frac{\mathrm{S}}{24}$	$\mathrm{S}$
Второй автомобиль (2-я половина пути)	$\mathrm{x}+16$	$\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}+16}$	$\mathrm{S}$

Автомобили были в пути одно и то же время, поэтому:

$\frac{\mathrm{S}}{24}+\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}+16}=\frac{2\mathrm{S}}{\mathrm{x}}$

Разделим обе стороны на $\mathrm{S}$ ($\mathrm{S}\ne 0$):

$\frac{1}{24}+\frac{1}{\mathrm{x}+16}=\frac{2}{\mathrm{x}}$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{\mathrm{x}+16+24}{24(\mathrm{x}+16)}=\frac{2}{\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{x}+40}{24(\mathrm{x}+16)}=\frac{2}{\mathrm{x}}$

Умножим обе части уравнения на $24\mathrm{x}(\mathrm{x}+16)$ (при $\mathrm{x}>0$:

$\mathrm{x}(\mathrm{x}+40)=48(\mathrm{x}+16)$

Раскроем скобки:

${\mathrm{x}}^2+40\mathrm{x}=48\mathrm{x}+768$

${\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-768=0$

Найдём дискриминант:

$\mathrm{D}=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-768)=64+3072=3136$

Корни уравнения:

${\mathrm{x}}_{1,2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{3136}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm 56}{2}$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{8+56}{2}=32 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{8-56}{2}=-24 \end{gathered}$$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, получаем $\mathrm{x}=32\text{\hspace{0.17em}км/ч}$.