Задание №85771 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{x}\text{\hspace{0.17em}км/ч}$ — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $\mathrm{x}-13\text{\hspace{0.17em}км/ч}$. Обозначим расстояние между пунктами за $2\mathrm{S}\text{\hspace{0.17em}км}$

Таблица движения автомобилей:

Автомобиль	Скорость	Время	Расстояние
Первый автомобиль	$\mathrm{x}$	$\frac{2\mathrm{S}}{\mathrm{x}}$	$2\mathrm{S}$
Второй автомобиль (1-я половина пути)	$\mathrm{x}-13$	$\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}-13}$	$\mathrm{S}$
Второй автомобиль (2-я половина пути)	$78$	$\frac{\mathrm{S}}{78}$	$\mathrm{S}$

Автомобили были в пути одно и то же время, поэтому:

$\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}-13}+\frac{\mathrm{S}}{78}=\frac{2\mathrm{S}}{\mathrm{x}}$

Разделим обе стороны на $\mathrm{S}$ ($\mathrm{S}\ne 0$):

$\frac{1}{\mathrm{x}-13}+\frac{1}{78}=\frac{2}{\mathrm{x}}$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{78+\mathrm{x}-13}{78(\mathrm{x}-13)}=\frac{2}{\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{x}+65}{78(\mathrm{x}-13)}=\frac{2}{\mathrm{x}}$

Умножим обе части уравнения на $78\mathrm{x}(\mathrm{x}-13)$ (при $\mathrm{x}>13$):

$\mathrm{x}(\mathrm{x}+65)=156(\mathrm{x}-13)$

Раскроем скобки:

${\mathrm{x}}^2+65\mathrm{x}=156\mathrm{x}-2028$

${\mathrm{x}}^2-91\mathrm{x}+2028=0$

Найдём дискриминант:

$\mathrm{D}=(-91{)}^2-4\cdot 1\cdot 2028=8281-8112=169$

Корни уравнения:

${\mathrm{x}}_{1,2}=\frac{-(-91)\pm \sqrt{169}}{2\cdot 1}=\frac{91\pm 13}{2}$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{91+13}{2}=52 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{91-13}{2}=39 \end{gathered}$$

По условию задачи, $\mathrm{x}>48$, поэтому скорость первого автомобиля равна $52\text{км/ч}$.