Задание №85787 ЕГЭ Профильной математике

Пусть время движения велосипедиста из $\mathrm{B}$ в $\mathrm{A}$ равно $\mathrm{x}$ часов. Тогда время движения мотоциклиста из $\mathrm{A}$ в $\mathrm{B}$ равно $\mathrm{x}-3$ часов, при этом $\mathrm{x}-3>0$, то есть $\mathrm{x}>3$. Обозначим расстояние между городами за $\mathrm{S}$ км.

Скорость велосипедиста: $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}}$,
Скорость мотоциклиста: $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}-3}$.

За $48$ минут ($\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$часа) велосипедист проехал расстояние $\frac{4}{5}\cdot \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}}$ км, а мотоциклист — $\frac{4}{5}\cdot \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}-3}$ км. Вместе они преодолели расстояние, равное $\mathrm{S}$ км. Получаем уравнение:

$\frac{4}{5}\cdot \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}}+\frac{4}{5}\cdot \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{x}-3}=\mathrm{S}$

$\frac{4}{5\mathrm{x}}+\frac{4}{5(\mathrm{x}-3)}=1$

$\frac{4(\mathrm{x}-3)+4\mathrm{x}}{5\mathrm{x}(\mathrm{x}-3)}=1$

$\frac{8\mathrm{x}-12}{5\mathrm{x}(\mathrm{x}-3)}=1$

$8\mathrm{x}-12=5{\mathrm{x}}^2-15\mathrm{x}$

$5{\mathrm{x}}^2-23\mathrm{x}+12=0$

$\mathrm{D}=(-23{)}^2-4\cdot 5\cdot 12=529-240=289$​

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{23+17}{10}=4 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{23-17}{10}=\frac{6}{10}=0,6 \end{gathered}$$

Так как $\mathrm{x}>3$, выбираем $\mathrm{x}=4$