Задание №85793 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{x}\text{\hspace{0.17em}км}$ — расстояние от $\mathrm{A}$ до $\mathrm{C}$, а $\mathrm{y}\text{\hspace{0.17em}км/ч}$ — скорость автомобиля. Рассмотрим движение автомобиля и мотоцикла на участке $\mathrm{A}\to \mathrm{C}$:

Направление	Скорость	Время	Расстояние
Автомобиль	$\mathrm{y}$	$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$	$\mathrm{x}$
Мотоцикл	$90$	$\frac{\mathrm{x}}{90}$	$\mathrm{x}$

Так как автомобиль выехал на 30 минут ($\frac{1}{2} \, \text{ч}$) раньше, его время на $\frac{1}{2} \, \text{ч}$ меньше.

Тогда первое уравнение:

$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}-\frac{\mathrm{x}}{90}=\frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим движение автомобиля из $\mathrm{C}$ в $\mathrm{B}$ и мотоцикла из $\mathrm{C}$ в $\mathrm{A}$:

Направление	Скорость	Время	Расстояние
Автомобиль	$\mathrm{y}$	$\frac{150-\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$	$150-\mathrm{x}$
Мотоцикл	$90$	$\frac{\mathrm{x}}{90}$	$\mathrm{x}$

Так как мотоцикл вернулся в $\mathrm{A}$ одновременно с автомобилем, приехавшим в $\mathrm{B}$, второе уравнение:

$\frac{150-\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{x}}{90}$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}-\frac{\mathrm{x}}{90}=\frac{1}{2}\\ \frac{150-\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{x}}{90}\end{array}\right.$

$\mathrm{y}=\frac{90(150-\mathrm{x})}{\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{x}}{\frac{90(150-\mathrm{x})}{\mathrm{x}}}-\frac{\mathrm{x}}{90}=\frac{1}{2}$

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{90(150-\mathrm{x})}-\frac{\mathrm{x}}{90}=\frac{1}{2}$

$\frac{{\mathrm{x}}^2-150\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2}{90(150-\mathrm{x})}=\frac{1}{2}$

$\frac{2{\mathrm{x}}^2-150\mathrm{x}}{90(150-\mathrm{x})}=\frac{1}{2}$

$2{\mathrm{x}}^2-150\mathrm{x}=90\cdot 150-90\mathrm{x}$

$2{\mathrm{x}}^2-150\mathrm{x}=13500-90\mathrm{x}$

$2{\mathrm{x}}^2-60\mathrm{x}-13500=0$

${\mathrm{x}}^2-30\mathrm{x}-6750=0$

$\mathrm{D}=(-30{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6750)=900+27000=27900={165}^2$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{30+165}{2}=90 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{30-165}{2}=-67,5 \end{gathered}$$

Так как $\mathrm{x}>0$, то $\mathrm{x}=90$.