Задание №85799 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{x}\text{\hspace{0.17em}км/ч}$ — скорость третьего велосипедиста, а $\mathrm{t}\text{\hspace{0.17em}ч}$ — время, за которое он догнал второго велосипедиста. Тогда за время $\mathrm{t}\text{\hspace{0.17em}ч}$ третий велосипедист проехал расстояние $\mathrm{x}\cdot \mathrm{t}\text{\hspace{0.17em}км}$, а второй, выехавший на 1 час раньше, проехал $10(\mathrm{t}+1)\text{\hspace{0.17em}км}$. Составим первое уравнение: $\mathrm{x}\cdot \mathrm{t}=10(\mathrm{t}+1)\mathrm{.}$

Теперь рассмотрим, как третий велосипедист догоняет первого. Для этого ему понадобилось $\mathrm{t}\text{\hspace{0.17em}ч}$, чтобы догнать второго, и ещё $2\text{ч}20\text{мин}=\frac{7}{3}\text{ч}$, чтобы догнать первого. Итого третий догонял первого за $\mathrm{t}+\frac{7}{3}\text{\hspace{0.17em}ч}$ и проехал расстояние $\mathrm{x}\cdot (\mathrm{t}+\frac{7}{3})\text{\hspace{0.17em}км}$. Первый велосипедист, выехавший на 2 часа раньше третьего, за это время проехал расстояние $15\cdot (\mathrm{t}+\frac{7}{3}+2)\text{\hspace{0.17em}км}$. Составим второе уравнение:

$\mathrm{x}\cdot (\mathrm{t}+\frac{7}{3})=15\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\cdot \mathrm{t}=10(\mathrm{t}+1)\\ \mathrm{x}\cdot (\mathrm{t}+\frac{7}{3})=15\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})\end{array}\right.$

$\mathrm{x}=\frac{10(\mathrm{t}+1)}{\mathrm{t}}$

$\frac{10(\mathrm{t}+1)}{\mathrm{t}}\cdot (\mathrm{t}+\frac{7}{3})=15\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})$

$\frac{10(\mathrm{t}+1)(\mathrm{t}+\frac{7}{3})}{\mathrm{t}}=15\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})$

$\frac{10({\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}\cdot \frac{7}{3}+\mathrm{t}+\frac{7}{3})}{\mathrm{t}}=15\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})$

$\frac{10({\mathrm{t}}^2+\frac{10\mathrm{t}}{3}+\frac{7}{3})}{\mathrm{t}}=15\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})$

$10({\mathrm{t}}^2+\frac{10\mathrm{t}}{3}+\frac{7}{3})=15\mathrm{t}\cdot (\mathrm{t}+\frac{13}{3})$

$10{\mathrm{t}}^2+\frac{100\mathrm{t}}{3}+\frac{70}{3}=15{\mathrm{t}}^2+65\mathrm{t}$

$30{\mathrm{t}}^2+100\mathrm{t}+70=45{\mathrm{t}}^2+195\mathrm{t}$

$15{\mathrm{t}}^2+95\mathrm{t}-70=0$

$3{\mathrm{t}}^2+19\mathrm{t}-14=0$

$\mathrm{D}={19}^2-4\cdot 3\cdot (-14)=361+168=529$

$$\begin{gathered} {\mathrm{t}}_1=\frac{-19+23}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\ {\mathrm{t}}_2=\frac{-19-23}{6}=-\frac{42}{6}=-7 \end{gathered}$$

Так как $\mathrm{t}>0$, то $\mathrm{t}=\frac{2}{3}\text{\hspace{0.17em}ч}=23\text{\hspace{0.17em}мин}\mathrm{.}$

$\mathrm{x}=\frac{10(\mathrm{t}+1)}{\mathrm{t}}=\frac{10(\frac{2}{3}+1)}{\frac{2}{3}}=25\text{\hspace{0.17em}км/ч}\mathrm{.}$