Задание №85827 ЕГЭ Профильной математике

Гонщик	Скорость	Время	Расстояние
Первый гонщик	$\mathrm{y}$	$\frac{180}{\mathrm{y}}$	$180$
Второй гонщик	$\mathrm{x}$	$\frac{180}{\mathrm{x}}$	$180$

Так как первый гонщик приехал на $10\text{минут}=\frac{1}{6}\text{ч}$ раньше второго, получаем уравнение:

$\frac{180}{\mathrm{x}}-\frac{180}{\mathrm{y}}=\frac{1}{6}$

Гонщик	Скорость	Время	Расстояние
Первый гонщик	$\mathrm{y}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}\mathrm{y}$
Второй гонщик	$\mathrm{x}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}\mathrm{x}$

За это время первый гонщик обогнал второго на круг, то есть на $3 \, \text{км}$. Получаем уравнение:

$\frac{1}{4}\mathrm{y}-\frac{1}{4}\mathrm{x}=3$

$\mathrm{y}-\mathrm{x}=12$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{180}{\mathrm{х}}-\frac{180}{\mathrm{y}}=\frac{1}{6}\\ \mathrm{y}-\mathrm{x}=12\end{array}\right.$

Из второго уравнения выразим $\mathrm{y}$:

$\mathrm{y}=\mathrm{x}+12$

Подставим в первое уравнение:

$\frac{180}{\mathrm{x}}-\frac{180}{\mathrm{x}+12}=\frac{1}{6}$

$\frac{180(\mathrm{x}+12)-180\mathrm{x}}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+12)}=\frac{1}{6}$

$\frac{180\mathrm{x}+2160-180\mathrm{x}}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+12)}=\frac{1}{6}$

$\frac{2160}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+12)}=\frac{1}{6}$

$6\cdot 2160=\mathrm{x}(\mathrm{x}+12)$

$12960={\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}$

${\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}-12960=0$

$\mathrm{D}={12}^2-4\cdot 1\cdot (-12960)=144+51840=51984={288}^2$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{-12+228}{2}=\frac{216}{2}=108 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-12-228}{2}=\frac{-240}{2}=-120 \end{gathered}$$

Так как $\mathrm{x}>0$, то $\mathrm{x}=108\text{\hspace{0.17em}км/ч.}$