Задание №86512 ЕГЭ Профильной математике

Пусть Игорь, Паша и Володя каждый покрасят забор за время ${\mathrm{t}}_1$, ${\mathrm{t}}_2$ и ${\mathrm{t}}_3$соответственно. Воспользуемся формулой:

$\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}=\frac{1}{{\mathrm{t}}_{\text{совм}}}$

Тогда получим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}& =\frac{1}{9}\end{array}\\ \begin{array}{rl}\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3}& =\frac{1}{12}\end{array}\\ \begin{array}{rl}\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3}& =\frac{1}{18}\end{array}\end{array}\right.$

Прибавим ко второму уравнению первое и третье:

$2(\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3})=\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}$

$\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{4}{36}+\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

$2(\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3})=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3}=\frac{1}{8}$

Так как спрашивают, за сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем, то:

$\frac{1}{{\mathrm{t}}_{\text{совм}}}=\frac{1}{8}$

следовательно:

${\mathrm{t}}_{\text{совм}}=8\text{ часов}\mathrm{.}$