Задание №86522 ЕГЭ Профильной математике

Пусть первый, второй и третий насосы заполняют бассейн за время ${\mathrm{t}}_1$, ${\mathrm{t}}_2$ и ${\mathrm{t}}_3$ соответственно. Воспользуемся формулой:

$\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}=\frac{1}{{\mathrm{t}}_{\text{совм}}}$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3}=\frac{1}{14}\\ \frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3}=\frac{1}{18}\end{array}\right.$

Прибавим к первому уравнению второе и третье:

$(\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2})+(\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3})+(\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3})=\frac{1}{9}+\frac{1}{14}+\frac{1}{18}$

$2(\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3})=\frac{1}{9}+\frac{1}{14}+\frac{1}{18}$

$\frac{1}{9}+\frac{1}{14}+\frac{1}{18}=\frac{28}{252}+\frac{18}{252}+\frac{14}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$

Подставляем:

$2(\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3})=\frac{5}{21}$

$\frac{1}{{\mathrm{t}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{t}}_3}=\frac{5}{42}$

Теперь вычислим ${\mathrm{t}}_{\text{совм}}$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\mathrm{t}}_{\text{совм}}}=\frac{5}{42} \\ {\mathrm{t}}_{\text{совм}}=\frac{42}{5}=8,4\text{\hspace{0.17em}минут} \end{gathered}$$

Таким образом, три насоса заполнят бассейн за $8,4$ минуты.