Задание №86533 ЕГЭ Профильной математике

Пусть доход мужа, жены и дочери составляет $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$ и $\mathrm{z}$ % соответственно. Тогда первое уравнение:

$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=100$

Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет $2\mathrm{x}$), то общий доход увеличится на 67 %, то есть второе уравнение будет:

$2\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=167.$

Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет $\frac{\mathrm{z}}{3}$), то общий доход уменьшится на 4 %, то есть третье уравнение будет:

$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\frac{\mathrm{z}}{3}=96$

Таким образом, получаем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=100\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=167\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}+\frac{\mathrm{z}}{3}=96\end{array}\right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$\begin{gathered} (2\mathrm{x}-\mathrm{x})+(\mathrm{y}-\mathrm{y})+(\mathrm{z}-\mathrm{z})=167-100 \\ \mathrm{x}=67 \end{gathered}$$

Вычтем из первого уравнения третье:

$$\begin{gathered} (\mathrm{x}-\mathrm{x})+(\mathrm{y}-\mathrm{y})+(\mathrm{z}-\frac{\mathrm{z}}{3})=100-96 \\ \frac{2\mathrm{z}}{3}=4 \\ \mathrm{z}=6 \end{gathered}$$

Подставим найденные значения $\mathrm{x}=67$ и $\mathrm{z}=6$в первое уравнение:

$$\begin{gathered} 67+\mathrm{y}+6=100 \\ \mathrm{y}=27 \end{gathered}$$

Таким образом, доход мужа составляет 67%, жены — 27%, а дочери — 6%.